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《圓的方程》教案
在教學工作者實際的教學活動中，常常要寫一份優(yōu)秀的教案，教案有助于學生理解并掌握系統(tǒng)的知識。來參考自己需要的教案吧！以下是小編收集整理的《圓的方程》教案，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。
《圓的方程》教案1
1。教學目標
(1)知識目標: 1。在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的標準方程;
2。會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心,能根據條件寫出圓的方程。
(2)能力目標: 1。進一步培養(yǎng)學生用解析法研究幾何問題的能力;
2。使學生加深對數形結合思想和待定系數法的理解;
3。增強學生用數學的意識。
(3)情感目標:培養(yǎng)學生主動探究知識、合作交流的意識,在體驗數學美的過程中激發(fā)學生的學習興趣。
2。教學重點。難點
(1)教學重點:圓的標準方程的求法及其應用。
(2)教學難點:會根據不同的已知條件,利用待定系數法求圓的標準方程以及選擇恰
當的坐標系解決與圓有關的實際問題。
3。教學過程
(一)創(chuàng)設情境(啟迪思維)
問題一:已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側行駛,一輛寬為2。7m,高為3m的貨車能不能駛入這個隧道?
[引導] 畫圖建系
[學生活動]:嘗試寫出曲線的方程(對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性復習)
解:以某一截面半圓的圓心為坐標原點,半圓的直徑AB所在直線為x軸,建立直角坐標系,則半圓的方程為x2 y2=16(y≥0)
將x=2。7代入,得 。
即在離隧道中心線2。7m處,隧道的`高度低于貨車的高度,因此貨車不能駛入這個隧道。
(二)深入探究(獲得新知)
問題二:1。根據問題一的探究能不能得到圓心在原點,半徑為 的圓的方程?
答:x2 y2=r2
2。如果圓心在 ,半徑為 時又如何呢?
[學生活動] 探究圓的方程。
[教師預設] 方法一:坐標法
如圖,設M(x,y)是圓上任意一點,根據定義點M到圓心C的距離等于r,所以圓C就是集合P={MMC=r}
由兩點間的距離公式,點M適合的條件可表示為 ①
把①式兩邊平方,得(x?a)2 (y?b)2=r2
方法二:圖形變換法
方法三:向量平移法
(三)應用舉例(鞏固提高)
《圓的方程》教案2
本章在“第三章 直線與方程”的基礎上，在直角坐標系中建立圓的方程，并通過圓的方程，研究直線與圓、圓與圓的位置關系。
在直角坐標系中，建立幾何對象的方程，并通過方程研究幾何對象，這是研究幾何問題的重要方法。通過坐標系，把點與坐標、曲線與方程聯系起來，實現空間形式與數量關系的結合。
一、內容與課程學習目標
本章主要內容是在直角坐標系中建立圓的方程，并通過圓的方程，研究直線與圓、圓與圓的位置關系。通過本章學習，要使學生達到如下學習目標：
1．回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程。
2．能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系。
3．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。
4．進一步體會用代數方法處理幾何問題的思想。
5．通過具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性，了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置。
6．通過表示特殊長方體（所有棱分別與坐標軸平行）頂點的坐標，探索并得出空間兩點間的距離公式。
二、內容安排
本章內容共分三節(jié)，約需9課時，具體課時分配如下（僅供參考）：
4．1 圓的方程 約2課時
4．2 直線、圓的位置關系 約4課時
4．3 空間直角坐標系 約2課時
小 結 約1課時
本章知識結構如下：
1．“直線與方程”一章研究了直線方程的各種形式、直線之間的位置關系以及直線之間位置關系的簡單應用。本章在第三章的基礎上，學習圓的有關知識——圓的標準方程、圓的一般方程；繼續(xù)運用“坐標法”研究直線與圓、圓與圓的位置關系等幾何問題；學習空間直角坐標系的有關知識，用坐標表示簡單的空間的幾何對象。
2．“圓的方程”一節(jié)包括圓的標準方程、圓的一般方程兩部分。首先提出確定圓的幾何要素這個問題，指出圓心和半徑是確定一個圓最基本的要素，然后引導學生用代數的語言（方程）描述圓，進而得到圓心為C（a，b ），半徑為r的圓的標準方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2。對圓的標準方程進行變形，可以得出圓的一般方程，它們是表示圓的方程的兩種形式。
3．“直線、圓的位置關系”中，先從幾何角度指出它們之間的直線與直線、直線與圓的位置關系，然后用方程去描述它們，通過方程研究直線、圓的位置關系。最后安排了直線與圓的方程在解決實際問題和平面幾何問題方面的應用。
通過方程，研究直線與圓、圓與圓的位置關系是本章的主要內容之一。判斷直線與圓、圓與圓的位置關系可以從兩個方面入手：
�。�1）曲線C1與C2有無公共點，等價于由它們的方程組成的方程組有無實數解．方程組有幾組實數解，曲線C1與C2就有幾個公共點；方程組沒有實數解，C1與C2就沒有公共點。
�。�2）運用平面幾何知識，把直線與圓、圓與圓的位置關系的結論轉化為相應的代數問題。
在本節(jié)的最后，進一步指出用坐標方法解決幾何問題的“三部曲”：
第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；
第二步：通過代數運算，解決代數問題；
第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論。
4．“空間直角坐標系”包括空間直角坐標系的概念，用坐標表示空間中簡單的幾何對象，以及空間中兩點間的距離公式。
5．為了使學生更好地了解“坐標法”，認識信息技術在探求軌跡方面的作用，本章安排了“閱讀與思考 坐標法與機器證明”和“探究與發(fā)現 用《幾何畫板》探求點的軌跡（圓）”�！伴喿x與思考 坐標法與機器證明”介紹了坐標法、笛卡兒、坐標法與機器證明之間的關系、機器證明的思想，以及在機器證明方面作出重大貢獻的的我國著名數學家吳文俊先生。目的是拓廣學生的知識面，了解我國數學家作出的重大貢獻，激發(fā)學生進一步深入學習數學的興趣�！疤骄颗c發(fā)現 用《幾何畫板》探求點的軌跡（圓）”介紹了《幾何畫板》在探求點的軌跡，幫助學生猜想、發(fā)現方面的作用。
三、編寫中考慮的幾個問題
1．始終貫穿“坐標法”的思想
解析幾何的特點是用代數的方法研究幾何圖形。對于義務教育階段中判斷圓與直線、圓與圓之間的位置關系的方法，學生并不陌生。這里研究問題的方法與以前不同，這就是坐標法．
在建立圓的標準方程時，首先幫助學生回顧確定圓的要素，然后利用坐標法來刻畫圓，建立了圓的標準方程；判斷圓與直線、圓與圓的位置關系時，首先回顧義務教育階段如何判斷圓與直線、圓與圓的位置關系，然后利用坐標法研究它們。從另一個角度看，既然圓、直線都可以用方程來刻畫，那么就可以通過對方程的研究來研究直線與圓、圓與圓的位置關系，這就是兩曲線是否有公共點的問題，即它們的方程組成的方程組有沒有實數解的問題。本章在進行圓與直線、圓與圓的位置關系判斷時，常常采用這兩種方法．
2．從一個或幾個數學問題展開知識內容
問題是數學的心臟。引入知識內容時，常設置一個或幾個問題，創(chuàng)設一種情境，一方面引起學生的興趣，另一方面引起學生解決問題的`求知欲望。
比如“4. 1.2 圓的一般方程”，提出了兩個思考題
思考：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么圖形？方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么圖形？
實際上，對方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方，得（x－1）2＋（y－2）2＝－1，這個方程不表示任何圖形。
緊接著，教科書又提出一個讓學生探究的問題。
探究：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程在什么條件下表示圓？
教科書環(huán)環(huán)相扣，把學生引入一個又一個“憤”與“悱”的境地，使得學生通過問題的解決學習新的知識。
3．關注結論形成的過程，通過思考、探究，得出結論
本章在編寫時注意呈現方式，不直接給出結論，讓學生證明。而是把結論放在學生經過一系列數學活動之后，通過思考、探究，得出結論。比如，用“坐標法”解決問題的“三部曲”就是通過解決一系列問題后得出。在例題的呈現時，增加了分析的過程，重點分析解題的思路。在探求點的軌跡時，提倡先用信息技術工具探究軌跡的形狀，對問題有一個直觀的了解，然后再分析軌跡形成的原因，找出解決問題的方法，使得學生抓住問題的本質，理清思路，制訂合理的解題策略。
4．充分利用教科書邊空，提出具有一定思考價值的問題，強調重要的數學思想方法
利用教科書邊空不失時機地提出一些具有一定思考價值的問題，例如：
�。�1）當一個問題解決之后，詢問“還有其他不同的解法嗎？”或者是“有更好的解法嗎？”
�。�2）當同一個問題有兩種解法時，要求比較它們的優(yōu)劣。如“請同學們比較這兩種證明方法，并指出各自的特點？”在比較中加深理解，促使學生養(yǎng)成解題后反思的良好習慣．
（3）當同一個問題有多種解法時，要求學生在教科書已經給出一種或兩種解法的基礎上再給出一種。
歸納、抽象是重要的數學思想方法。在問題解決之后，要求學生進行一些簡單的歸納。例如，“4. 1.1 圓的標準方程”，在學習了例2與例3之后，提出“比較例2和例3，你能歸納出求任意三角形外接圓的標準方程的兩種方法嗎？”
通過問題的開放性，觸類旁通地提出問題。比如，研究圓C1：x2＋2＋2x＋8y－8＝0與圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0的關系時，把它們的方程相減，得到 x＋2y－1＝0。在邊空處要求“畫出圓C1與2以及方程x＋2y－1＝0表示的直線，你發(fā)現了什么？你能說明為什么嗎？”更進一步，能否說，要研究圓C1與圓C2的關系只要研究直線x＋2y－1＝0與C1（或C2）的關系就可以了呢？這一問題，不僅體現了“化歸”的思想，而且是頗具思考價值的．
5．注意加強與實際問題、其他學科的聯系
本章內容的選擇盡可能加強與學生的生活、生產實際的聯系。比如，為說明研究直線與圓的位置關系的必要性，設置了一個漁船能否避開臺風的問題：
一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑長為30 km的圓形區(qū)域. 已知港口位于臺風中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？
在直線與圓的方程的應用部分，設置了與圓拱橋有關的計算題。學習空間直角坐標系時，要求寫出食鹽晶胞中鈉原子在空間直角坐標系中的位置（坐標）等等。
6．介紹科技成果，滲透數學文化
本章通過設置“閱讀與思考 坐標法與機器證明”欄目，介紹科學家、數學史、數學在現代生活中的應用等，機器證明幾何定理是坐標法的精彩應用，我國數學家吳文俊先生在這方面有著重要的貢獻，較為詳細地介紹了機器證明幾何定理研究的歷史。
四、對教學的幾個建議
1．認真把握教學要求
教學中，注意控制教學的難度，避免進行綜合性強、難度較大的數學題的訓練，避免在解題技巧上做文章。比如，義務教育階段“空間與圖形”部分涉及的許多結論都可以用坐標法來加以證明，而義務教育階段的教學要求已經有所改變。因此，用坐標法證明平面幾何題要求不宜過高，適可而止。再如，教科書不介紹圓的切線方程x0x+y0y＝r2，這并不是說不涉及圓與直線相切這一位置關系。與直線相切這一位置關系的判斷可以有兩種方法，一種是利用圓心到直線的距離等于半徑長；另一種是利用它們的方程組成的方程組只有一組實數解。
2．關注重要數學思想方法的教學
重要的數學思想方法不怕重復。《普通高中數學課程標準（實驗）》要求“坐標法”應貫穿平面解析幾何教學的始終，幫助學生不斷地體會“數形結合”的思想方法。在教學中應自始至終強化這一思想方法，這是解析幾何的特點。教學中注意“數”與“形”的結合，在通過代數方法研究幾何對象的位置關系以后，還可以畫出其圖形，驗證代數結果；同時，通過觀察幾何圖形得到的數學結論，對結論進行代數證明，不應割斷它們之間的聯系，只強調其一方面。
3．關注學生的動手操作和主動參與
學習方式的轉變是課程改革的重要目標之一。教學中，注意提供充分的數學活動和交流的機會，引導他們在自主探索的過程中獲得知識、增強技能、掌握基本的數學思想方法。例如，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系以及它們的簡單應用，探究點的軌跡等內容，可以先讓學生畫一畫、想一想，然后進行代數論證�！坝^察”“思考”“探究”等欄目設置目的之一就是想讓學生參與到數學活動中來。
4．關注信息技術的應用
平面解析幾何是一門典型的數與形結合的學科，信息技術在加強幾何直觀，促使數與形結合方面有著特殊的作用。借助信息技術，可以形象、直觀地幫助學生認識所研究的曲線。在動態(tài)演示中，觀察曲線的性質，在直觀了解的基礎上，尋求形成這些性質的原因以及代數表示。通過對方程的研究，了解曲線與曲線的關系時，運用信息技術，可以進一步驗證得到的結果，為抽象的認識增添了形象的支持。在探究點的軌跡時，可以借助信息技術，探究軌跡的形狀等等。
《圓的方程》教案3
教學目標：
1、知識與技能目標:理解并掌握圓的標準方程，會根據不同條件求圓的標準方程，能從圓的標準方程熟練地寫出它的圓心坐標與半徑。
2、過程與方法目標：通過對圓的標準方程的推導及應用，滲透數形結合、待定系數法等數學思想方法，提高學生的觀察、比較、分析、概括等思維能力。
3、情感與價值觀目標：通過學生主動參與圓的相關知識的探討和幾何畫板在解與圓有關問題中的應用，激發(fā)學生數學學習的興趣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。
教學重點：
圓的標準方程的推導及應用。
教學難點：
利用圓的幾何性質求圓的標準方程。
教學方法：
本節(jié)課采用“誘思探索”的教學方法，借助學生已有的知識引出新知;在概念的形成與深化過程中，以一系列的問題為主線，采用討論式，引導學生主動探究，自己構建新知識;通過層層深入的例題配置，使學生思路逐步開闊，提高解決問題的能力。
同時借助多媒體，增強教學的直觀性，有利于滲透數形結合的思想，同時增大課堂容量，提高課堂效率。
教學過程：
一、復習引入 ：
1、 提問：初中平面幾何學習的哪些圖形?
初中平面幾何中所學是兩個方面的'知識：直線形的和曲線形的。在曲線形方面學習的是圓，學習解析幾何以來，已經討論了直線方程，今天我們來研究最簡單、最完美的曲線圓的方程。
2、提問：具有什么性質的點的軌跡是圓?
強調確定一個圓需要的的條件為：圓心與半徑,它們分別確定了圓的位置與大小，
二、概念的形成：
1、讓學生根據顯示在屏幕上的圓自己探究圓的方程。
教師演示圓的形成過程，讓學生自己探究圓的方程，教師巡視，加強對學生的個別指導，由學生講解思路，根據學生的回答，教師展示學生的想法，將兩種解法同時顯示在屏幕上，方便學生對比。
學生通常會有兩種解法：
解法1：(圓心不在坐標原點)設M(x,y)是一動點，點M在該圓上的充要條件是|CM|=r。由兩點間的距離公式，得
=r。
兩邊平方，得
(x-a)2+(y-b)2=r2。
解法2：(圓心在坐標原點)設M(x,y)是一動點，點M在該圓上的充要條件是|CM|=r。由兩點間的距離公式，得
=r
兩邊平方，得
x2+y2=r2
若學生只有一種做法，教師可引導學生建立不同的坐標系，有自己發(fā)現另一個方程。
2、圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2
當a=b=0時，方程為x2+y2=r2
三、 概念深化：
歸納圓的標準方程的特點：
�、賵A的標準方程是一個二元二次方程;
②圓的標準方程由三個獨立的條件a、b、r決定;
�、蹐A的標準方程給出了圓心的坐標和半徑。
四、 應用舉例：
練習1 104頁練習8-9 1、2(學生口答)
練習2 說出方程 (x+m)2+ (y+n)2=a2的圓心與半徑。
例1 、根據下列條件，求圓的方程：
(1)圓心在點C(-2,1)，并且過點A(2，-2);
(2)圓心在點C(1,3),并且與直線3x-4y –6=0相切;
(3)過點A(2,3),B(4,9),以線段AB為直徑。
分析探求：讓學生說出如何作出這些圓，教師用幾何畫板做圖，幫助學生理清解題思路，由學生自己解答，并通過幾何畫板來驗證。
例2、 求過點A(0,1),B(2,1)且半徑為 的圓的方程。
分析探求：鼓勵學生一題多解，先讓學生自己求解，再相互討論、交流、補充，最后教師將學生的想法用多媒體進行展示。
思路一：利用待定系數法設方程為 (x-a) 2 + (y-b) 2 = 5，將兩點坐標代入，列方程組，求得a,b,再代入圓的方程。
思路二：利用圓心在圓上兩點的垂直平分線上這一性質，利用待定系數法設方程為 (x-1) 2 + (y-b) 2 = 5，將一點坐標代入，列方程，求得b,再代入圓的方程。
思路三：畫出圓的圖形，利用直角三角形，直接求圓心坐標。
由例1、例2總結求圓的標準方程的方法。
五、反饋練習：
104頁練習8-9 3(要求學生限時完成)
六、歸納總結：
學生小結并相互補充，師生共同整理完善。
1、圓的標準方程的推導;
2、圓的標準方程的形式;
3、求圓的方程的方法;
4、數學思想。
七、課后作業(yè)：(略)
《圓的方程》教案4
教學目標：
1、掌握圓的標準方程，能根據圓心、半徑寫出圓的標準方程。
2、會用待定系數法求圓的標準方程。
教學重點：圓的標準方程
教學難點：會根據不同的已知條件，利用待定系數法求圓的標準方程。
教學過程：
�。ㄒ唬⑶榫吃O置：
在直角坐標系中，確定直線的基本要素是什么？圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它的要素又是什么呢？什么叫圓？在平面直角坐標系中，任何一條直線都可用一個二元一次方程來表示，那么，圓是否也可用一個方程來表示呢？如果能，這個方程又有什么特征呢？
探索研究：
�。ǘ�、探索研究：
確定圓的基本條件為圓心和半徑，設圓的圓心坐標為A（a，b），半徑為r。（其中a、b、r都是常數，r>0）設M（x，y）為這個圓上任意一點，那么點M滿足的條件是（引導學生自己列出）P={M||MA|=r}，由兩點間的距離公式讓學生寫出點M適合的.條件①
化簡可得：②
引導學生自己證明為圓的方程，得出結論。
方程②就是圓心為A（a，b），半徑為r的圓的方程，我們把它叫做圓的標準方程。
（三）、知識應用與解題研究
例1．（課本例1）寫出圓心為，半徑長等于5的圓的方程，并判斷點是否在這個圓上。
分析探求：可以從計算點到圓心的距離入手。
探究：點與圓的關系的判斷方法：
（1）>，點在圓外
�。�2）=，點在圓上
�。�3）<，點在圓內
解：
例2．（課本例2）的三個頂點的坐標是求它的外接圓的方程。
師生共同分析：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角形有唯一的外接圓。從圓的標準方程可知，要確定圓的標準方程，可用待定系數法確定三個參數。
解：
例3．（課本例3）已知圓心為的圓經過點和，且圓心在上，求圓心為的圓的標準方程。
師生共同分析：如圖，確定一個圓只需確定圓心位置與半徑大小。圓心為的圓經過點和，由于圓心與A，B兩點的距離相等，所以圓心在線段AB的垂直平分線m上，又圓心在直線上，因此圓心是直線與直線m的交點，半徑長等于或。
解：
總結歸納：（教師啟發(fā)，學生自己比較、歸納）比較例2、例3可得出圓的標準方程的兩種求法：
1、根據題設條件，列出關于的方程組，解方程組得到的值，寫出圓的標準方程。
�、讴p根據確定圓的要素，以及題設條件，分別求出圓心坐標和半徑大小，然后再寫出圓的標準方程。
（四）、課堂練習（課本P120練習1，2，3，4）
歸納小結：
1、圓的標準方程。
2、點與圓的位置關系的判斷方法。
3、根據已知條件求圓的標準方程的方法。
作業(yè)布置：課本習題4。1A組第2，3，4題。
課后記：
《圓的方程》教案5
學習目標
1.通過求做勻速圓周運動的質點的參數方程，掌握求一般曲線的參數方程的基本步驟.
2.熟悉圓的參數方程，進一步體會參數的意義。
學習過程
一、學前準備
1.在直角坐標系中圓的標準方程和一般方程是什么?
二、新課導學
探究新知(預習教材P12～P16，找出疑惑之處)
如圖：設圓 的半徑是 ，
點 從初始位置 ( 時的位置)出發(fā)，按逆時針方向在圓 上作勻速圓周運動，點 繞點 轉動的角速度為 ，以圓心 為原點， 所在的直線為 軸，建立直角坐標系。顯然，點 的位置由時刻 惟一確定，因此可以取 為參數。如果在時刻 ，點 轉過的角度是 ，坐標是 ，那么 。設 ，那么由三角函數定義，有
即
這就是圓心在原點 ，半徑為 的圓的參數方程，其中參數 有明確的物理意義(質點作勻速圓周運動的時刻)�？紤]到 ，也可以取 為參數，于是有
應用示例
例1.圓 的半徑為2， 是圓上的動點， 是 軸上的`定點， 是 的中點，當點 繞 作勻速圓周運動時，求點 的軌跡的參數方程.
(教材P24例2)
《圓的方程》教案6
教學目標
(一)知識目標
1.掌握圓的標準方程：根據圓心坐標、半徑熟練地寫出圓的標準方程，能從圓的標準方程中熟練地求出圓心坐標和半徑；
2.理解并掌握切線方程的探求過程和方法。
(二)能力目標
1．進一步培養(yǎng)學生用坐標法研究幾何問題的能力；
2. 通過教學，使學生學習運用觀察、類比、聯想、猜測、證明等合情推理方法，提高學生運算能力、邏輯思維能力；
3. 通過運用圓的標準方程解決實際問題的學習，培養(yǎng)學生觀察問題、發(fā)現問題及分析、解決問題的能力。
(三)情感目標
通過運用圓的知識解決實際問題的學習，理解理論來源于實踐，充分調動學生學習數學的熱情，激發(fā)學生自主探究問題的興趣，同時培養(yǎng)學生勇于探索、堅忍不拔的意志品質。
教學重、難點
(一)教學重點
圓的標準方程的理解、掌握。
(二)教學難點
圓的標準方程的應用。
教學方法
選用引導?探究式的教學方法。
教學手段
借助多媒體進行輔助教學。
教學過程
Ⅰ.復習提問、引入課題
師：前面我們學習了曲線和方程的關系及求曲線方程的方法。請同學們考慮：如何求適合某種條件的點的軌跡？
生：①建立適當的直角坐標系，設曲線上任一點M的坐標為(x，y)；②寫出適合某種條件p的點M的集合P＝｛M ?p（M）｝；③用坐標表示條件，列出方程f(x,y)=0；④化簡方程f(x,y)=0為最簡形式。⑤證明以化簡后方程的解為坐標的點都是曲線上的點（一般省略）。［多媒體演示］
師：這就是建系、設點、列式、化簡四步曲。用這四步曲我們可以求適合某種條件的任何曲線方程，今天我們來看圓這種曲線的方程。［給出標題］
師：前面我們曾證明過圓心在原點，半徑為5的圓的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.
若半徑發(fā)生變化，圓的方程又是怎樣的？能否寫出圓心在原點，半徑為r的圓的方程？
生：x2+y2=r2.
師：你是怎樣得到的？（引導啟發(fā)）圓上的點滿足什么條件？
生：圓上的任一點到圓心的距離等于半徑。即 ，亦即 x2+y2=r2.
師：x2+y2=r2 表示的圓的位置比較特殊：圓心在原點，半徑為r.有時圓心不在原點，若此圓的圓心移至C（a,b）點（如圖），方程又是怎樣的？
生：此圓是到點C(a,b)的距離等于半徑r的點的集合，
由兩點間的距離公式得
即：（x-a）2+(y-b)2= r2
Ⅱ.講授新課、嘗試練習
師：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圓的標準方程.
特別：當圓心在原點，半徑為r時，圓的標準方程為：x2+y2=r2.
師：圓的標準方程由哪些量決定？
生：由圓心坐標（a,b）及半徑r決定。
師：很好！實際上圓心和半徑分別決定圓的位置和大小。由此可見，要確定圓的方程，只需確定a、b、r這三個獨立變量即可。
1、 寫出下列各圓的標準方程：［多媒體演示］
�、� 圓心在原點，半徑是3 ：________________________
�、� 圓心在點C（3，4），半徑是 ：______________________
�、� 經過點P（5，1），圓心在點C（8，－3）：_______________________
2、 變式題［多媒體演示］
① 求以C（1，3）為圓心，并且和直線3x-4y-7=0相切的圓的方程。
答案：(x-1)2 + (y-3)2 =
�、� 已知圓的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,寫出圓心坐標和半徑。
答案： C（a,0）, r=|a|
Ⅲ.例題分析、鞏固應用
師：下面我們通過例題來看看圓的標準方程的應用.
�。劾�1］ 已知圓的方程是 x2+y2=17，求經過圓上一點P（，）的切線的方程。
師：你打算怎樣求過P點的切線方程？
生：要求經過一點的直線方程，可利用直線的'點斜式來求。
師： 斜率怎樣求？
生：。。。。。。
師：已知條件有哪些？能利用嗎？不妨結合圖形來看看（如圖）
生：切線與過切點的半徑垂直，故斜率互為負倒數
半徑OP的斜率 K1＝， 所以切線的斜率 K＝－＝－
所以所求切線方程：y-= －(x-)
即：x+y=17 (教師板書)
師：對照圓的方程x2+y2=17和經過點P（，）的切線方程x+y=17，你能作出怎樣的猜想？
生：。。。。。。
師：由x2+y2=17怎樣寫出切線方程x+y=17,與已知點P（，）有何關系？
�。ㄈ艨床怀鰜�，再看一例）
�。劾�1/］ 圓的方程是x2+y2=13，求過此圓上一點（2，3）的切線方程。
答案：2x+3y=13 即：2x+3y－13＝0
師：發(fā)現規(guī)律了嗎？（學生紛紛舉手回答）
生：分別用切點的橫坐標和縱坐標代替圓方程中的一個x和一個y，便得到了切線方程。
師：若將已知條件中圓半徑改為r，點改為圓上任一點（xo,yo）,則結論將會發(fā)生怎樣的變化？大膽地猜一猜！
生：xox+yoy=r2.
師：這個猜想對不對？若對，可否給出證明？
生：。。。。。。
�。劾�2］已知圓的方程是 x2+y2=r2，求經過圓上一點P（xo,yo）的切線的方程。
解：如圖(上一頁)，因為切線與過切點的半徑垂直，故半徑OP的斜率與切線的斜率互為負倒數
∵半徑OP的斜率 K1＝，∴切線的斜率 K＝－＝－
∴所求切線方程：y-yo= － (x-xo)
即：xox+yoy=xo2+yo2 亦即：xox+yoy=r2. (教師板書)
當點P在坐標軸上時，可以驗證上面方程同樣適用。
歸納總結：圓的方程可看成 x.x+y.y=r2,將其中一個x、y用切點的坐標xo、yo 替換，可得到切線方程
［例3］右圖為某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造時每隔4M需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度。（精確到0.01M）
引導學生分析，共同完成解答。
師生分析：①建系； ②設圓的標準方程（待定系數）；③求系數（求出圓的標準方程）；④利用方程求A2P2的長度。
解：以AB所在直線為X軸，O為坐標原點，建立如圖所示的坐標系。則圓心在Y軸上，設為
（0，b）,半徑為r，那么圓的方程是 x2+(y-b)2=r2.
∵P(0,4),B(10,0)都在圓上，于是得到方程組：
解得：b=-10.5 ,r2=14.52
∴圓的方程為 x2+(y＋10.5)2=14.52.
將P2的橫坐標x=-2代入圓的標準方程
且取y>0
得：y=
≈14.36-10.5=3.86 (M)
答：支柱A2P2的長度約為3.86M。
Ⅳ.課堂練習、課時小結
課本Ｐ77練習2，3
師：通過本節(jié)學習，要求大家掌握圓的標準方程，理解并掌握切線方程的探求過程和方法，能運用圓的方程解決實際問題.
Ⅴ.問題延伸、課后作業(yè)
(一)若P（xo,yo）在圓（x-a）2+(y-b)2= r2上時，?求過P點的圓的切線方程。
課本Ｐ81習題7.7 : 1，2，3，4
(二)預習課本Ｐ77～Ｐ79
《圓的方程》教案7
1.教學目標
(1)知識目標: 1.在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的標準方程;
2.會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心,能根據條件寫出圓的方程.
(2)能力目標: 1.進一步培養(yǎng)學生用解析法研究幾何問題的能力;
2.使學生加深對數形結合思想和待定系數法的理解;
3.增強學生用數學的意識.
(3)情感目標:培養(yǎng)學生主動探究知識、合作交流的意識,在體驗數學美的過程中激發(fā)學生的學習興趣.
2.教學重點.難點
(1)教學重點:圓的標準方程的求法及其應用.
(2)教學難點:會根據不同的已知條件,利用待定系數法求圓的標準方程以及選擇恰
當的坐標系解決與圓有關的實際問題.
3.教學過程
(一)創(chuàng)設情境(啟迪思維)
問題一:已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車能不能駛入這個隧道?
[引導] 畫圖建系
[學生活動]:嘗試寫出曲線的方程(對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性復習)
解:以某一截面半圓的圓心為坐標原點,半圓的直徑ab所在直線為x軸,建立直角坐標系,則半圓的方程為x2 y2=16(y≥0)
將x=2.7代入,得 .
即在離隧道中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度,因此貨車不能駛入這個隧道。
(二)深入探究(獲得新知)
問題二:1.根據問題一的探究能不能得到圓心在原點,半徑為 的圓的方程?
答:x2 y2=r2
2.如果圓心在 ,半徑為 時又如何呢?
[學生活動] 探究圓的方程。
[教師預設] 方法一:坐標法
如圖,設m(x,y)是圓上任意一點,根據定義點m到圓心c的距離等于r,所以圓c就是集合p={m||mc|=r}
由兩點間的距離公式,點m適合的條件可表示為 ①
把①式兩邊平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2
方法二:圖形變換法
方法三:向量平移法
(三)應用舉例(鞏固提高)
i.直接應用(內化新知)
問題三:1.寫出下列各圓的方程(課本p77練習1)
(1)圓心在原點,半徑為3;
(2)圓心在 ,半徑為 ;
(3)經過點 ,圓心在點 .
2.根據圓的方程寫出圓心和半徑
(1) ; (2) .
ii.靈活應用(提升能力)
問題四:1.求以 為圓心,并且和直線 相切的圓的方程.
[教師引導]由問題三知:圓心與半徑可以確定圓.
2.已知圓的方程為 ,求過圓上一點 的切線方程.
[學生活動]探究方法
[教師預設]
方法一:待定系數法(利用幾何關系求斜率-垂直)
方法二:待定系數法(利用代數關系求斜率-聯立方程)
方法三:軌跡法(利用勾股定理列關系式) [多媒體課件演示]
方法四:軌跡法(利用向量垂直列關系式)
3.你能歸納出具有一般性的結論嗎?
已知圓的'方程是 ,經過圓上一點 的切線的方程是: .
iii.實際應用(回歸自然)
問題五:如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造時每隔4m需用一個支柱支撐,求支柱 的長度(精確到0.01m).
[多媒體課件演示創(chuàng)設實際問題情境]
(四)反饋訓練(形成方法)
問題六:1.求以c(-1,-5)為圓心,并且和y軸相切的圓的方程.
2.已知點a(-4,-5),b(6,-1),求以ab為直徑的圓的方程.
3.求圓x2 y2=13過點(-2,3)的切線方程.
4.已知圓的方程為 ,求過點 的切線方程.
《圓的方程》教案8
一.復習引入
提問：
以A(a，b)為圓心，半徑為r的圓的標準方程是什么?
討論并歸納回答。
復習鞏固加強記憶。
二.新課講授
1.思考：
我們先來判斷兩個具體的方程是否表示圓?
2.教師提問：
(1).是不是任何一個形如 的方程表示的曲線都是圓?
(2).如果不是那么在什么條件下表示圓?(提示：與圓的標準方程進行比較。)
綜上所述，方程
表示的曲線不一定是圓,只有當 時，它表示的曲線才是圓， 我們把方程 ( )稱為圓的一般方程
與一般的二元二次方程 比較
我們來看圓的一般方程的特點：(啟發(fā)學生歸納)
學生根據已有的.知識，經過配方，把方程化成標準形式，然后加以判斷。
1.
2.
(讓學生相互討論后,由學生總結)
配方得總結
當 時，此方程表示以(- ，- )為圓 心, 為半徑的圓;
當 時，此方程只有實數解 ， ，即只表示一個點(- ，- );
當 時，此方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形
�、賦2和y2的系數相同，不等于0.
�、跊]有xy這樣的二次項
使新知識建立在學生已有的知識上
設置問題：提出疑問，誘導學生主動思考，主動探究，合作交流使學生在積極的學習中解決問題，提高學生的教學思維能力，實現素質教育的目標，同時也培養(yǎng)了學生的情感、態(tài)度與價值觀。
提高學生分析問題和解決問題的能力。
圓的標準方程
圓的一般方程
方程
圓心
半徑
r
優(yōu)點
幾何特征明顯
突出方程形式上的特點
問題:圓的標準方程與圓的一般方程各有什么特點?
采用類比法加深在研究問題中由簡單到復雜，由特殊到一般的化歸思想的認識。
練習1.判斷下列方程是否表示圓? 如果是 ,請求出圓的圓心及半徑.
三.例題講解：
例1：求過三點A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。
分析:已知曲線類型,應采用待定系數法
使用待定系數法的圓的方程的一般步驟：
1.根據題意，選擇標準方程或一般方程;
2.根據條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組;
3.解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程。
例2.已知線段 的端點 的坐標是 ，端點 在圓 上運動，求線段 中點 的坐標 中 滿足的關系?并說明該關系表示什么曲線?
練習2.求圓心在直線 上,并且經過原點和點(3,-1)的圓的方程
課堂小結
(1)任何一個圓的方程都可以寫成 的形式，但是方程 的曲線不一定是圓;當 時，方程 稱為圓的一般方程。
(2)圓的一般方程與圓的標準方程可以互相轉化;熟練應用配方法求出圓心坐標和半徑.
(3)用待定系數法求圓的方程時需要靈活選用方程形式.
想一想:可否先求圓心和半徑,再得出圓的方程?
(提示學生結合圖形，圓的弦的中垂線的交點為圓心 ，圓心到圓上一點的距離為半徑)
加強待定系數法的應用
培養(yǎng)學生數形結合思想，進一步加強學生用代數方法研究幾何問題的能力，體現了本節(jié)的知識與技能目標。
練習：P123：1、2、3
生：練習
4.1.2 圓的一般方程
課時設計 課堂實錄
4.1.2 圓的一般方程
1第一學時 教學活動 活動1【活動】活動
四.教學過程
教學環(huán)節(jié)
教師活動
學生活動
設計意圖
復習圓的定義及圓的標準方程特征
創(chuàng)設問題
設疑
類比
教師引導
《圓的方程》教案9
㈠課時目標
1．掌握圓的一般式方程及其各系數的幾何特征。
2．待定系數法之應用。
㈡問題導學
問題1：寫出圓心為（a，b），半徑為r的圓的方程，并把圓方程改寫成二元二次方程的形式。 —2ax—2by+ =0
問題2：下列方程是否表示圓的方程，判斷一個方程是否為圓的方程的標準是什么？
�、� ； ② 1
�、� 0； ④ —2x+4y+4=0
�、� —2x+4y+5=0； ⑥ —2x+4y+6=0
㈢教學過程
[情景設置]
把圓的標準方程 展開得 —2ax—2by+ =0
可見，任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式：
+Dx+Ey+F=0 ①
提問：方程表示的曲線是不是圓？一個方程表示的曲線是否為圓有標準嗎？
[探索研究]
將①配方得 ： （ ） ②
將方程 ②與圓的標準方程對照。
�、女� ＞0時， 方程 ②表示圓心在 （— ），半徑為 的圓。
�、飘� =0時，方程①只表示一個點（— ）。
�、钱� ＜0時， 方程①無實數解，因此它不表示任何圖形。
結論： 當 ＞0時， 方程 ①表示一個圓， 方程 ①叫做圓的一般方程。
圓的標準方程的優(yōu)點在于明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了形式上的特點：
⑴ 和 的系數相同，不等于0；
�、茮]有xy這樣的二次項。
以上兩點是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圓的必要條件，但不是充分條件
[知識應用與解題研究]
[例1] 求下列各圓的'半徑和圓心坐標。
�、� —6x=0； ⑵ +2by=0（b≠0）
[例2]求經過O（0，0），A（1，1），B（2，4）三點的圓的方程，并指出圓心和半徑。
分析：用待定系數法設方程為 +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。
[例3]已知一曲線是與兩個定點O（0，0）、A（3，0）距離的比為 的點的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線。
分析：本題直接給出點，滿足條件，可直接用坐標表示動點滿足的條件得出方程。
反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距離之比為定植k（k>0）的點的軌跡又如何？當k=1時為直線，k>0時且k≠1時為圓。
㈣提煉總結
1．圓的一般方程： +Dx+Ey+F=0 （ ＞0）。
2．二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圓的必要條件是：A=C≠0且B=0。
3．圓的方程兩種形式的選擇：與圓心半徑有直接關系時用標準式，無直接關系選一般式。
4．兩圓的位置關系（相交、相離、相切、內含）。
㈤布置作業(yè)
1．直線l過點P（3，0）且與圓 —8x—2y+12=0截得的弦最短，則直線l的方程為：
2．求下列各圓的圓心、半徑并畫出它們的圖形。
⑴ —2x—5=0； ⑵ +2x—4y—4=0
3．經過兩圓 +6x—4=0和 +6y—28=0的交點，并且圓心在直線x—y—4=0上的圓的方程。
《圓的方程》教案10
教學目標
�。�1）掌握圓的標準方程，能根據圓心坐標和半徑熟練地寫出圓的標準方程，也能根據圓的標準方程熟練地寫出圓的圓心坐標和半徑．
（2）掌握圓的一般方程，了解圓的一般方程的結構特征，熟練掌握圓的標準方程和一般方程之間的互化．
�。�3）了解參數方程的概念，理解圓的參數方程，能夠進行圓的普通方程與參數方程之間的互化，能應用圓的參數方程解決有關的簡單問題．
�。�4）掌握直線和圓的位置關系，會求圓的切線．
（5）進一步理解曲線方程的概念、熟悉求曲線方程的方法．
教學建議
教材分析
（1）知識結構
�。�2）重點、難點分析
�、俦竟�(jié)內容教學的重點是圓的標準方程、一般方程、參數方程的推導，根據條件求圓的方程，用圓的`方程解決相關問題．
②本節(jié)的難點是圓的一般方程的結構特征，以及圓方程的求解和應用．
教法建議
（1）圓是最簡單的曲線．這節(jié)教材安排在學習了曲線方程概念和求曲線方程之后，學習三大圓錐曲線之前，旨在熟悉曲線和方程的理論，為后繼學習做好準備．同時，有關圓的問題，特別是直線與圓的位置關系問題，也是解析幾何中的基本問題，這些問題的解決為圓錐曲線問題的解決提供了基本的思想方法．因此教學中應加強練習，使學生確實掌握這一單元的知識和方法．
�。�2）在解決有關圓的問題的過程中多次用到配方法、待定系數法等思想方法，教學中應多總結．
�。�3）解決有關圓的問題，要經常用到一元二次方程的理論、平面幾何知識和前邊學過的解析幾何的基本知識，教師在教學中要注意多復習、多運用，培養(yǎng)學生運算能力和簡化運算過程的意識．
�。�4）有關圓的內容非常豐富，有很多有價值的問題．建議適當選擇一些內容供學生研究．例如由過圓上一點的切線方程引申到切點弦方程就是一個很有價值的問題．類似的還有圓系方程等問題．
篇二：圓的一般方程
教學目標：
�。�1）掌握圓的一般方程及其特點．
�。�2）能將圓的一般方程轉化為圓的標準方程，從而求出圓心和半徑．
（3）能用待定系數法，由已知條件求出圓的一般方程．
�。�4）通過本節(jié)課學習，進一步掌握配方法和待定系數法．
教學重點：
�。�1）用配方法，把圓的一般方程轉化成標準方程，求出圓心和半徑．
�。�2）用待定系數法求圓的方程．
教學難點：圓的一般方程特點的研究．
教學用具：計算機．
教學方法：啟發(fā)引導法，討論法．
教學過程：
【引入】
前邊已經學過了圓的標準方程
把它展開得
任何圓的方程都可以通過展開化成形如
�、俚姆匠�
【問題1】
形如①的方程的曲線是否都是圓？
師生共同討論分析：
如果①表示圓，那么它一定是某個圓的標準方程展開整理得到的．我們把它再寫成原來的形式不就可以看出來了嗎？運用配方法，得
�、�
顯然②是不是圓方程與 是什么樣的數密切相關，具體如下：
（1）當 時，②表示以 為圓心、以 為半徑的圓；
（2）當 時，②表示一個點 ；
（3）當 時，②不表示任何曲線．
總結：任意形如①的方程可能表示一個圓，也可能表示一個點，還有可能什么也不表示．
圓的一般方程的定義：
當 時，①表示以 為圓心、以 為半徑的圓，
此時①稱作圓的一般方程．
即稱形如 的方程為圓的一般方程．
【問題2】圓的一般方程的特點，與圓的標準方程的異同．
�。�1） 和 的系數相同，都不為0．
�。�2）沒有形如 的二次項．
圓的一般方程與一般的二元二次方程
�、�
相比較，上述（1）、（2）兩個條件僅是③表示圓的必要條件，而不是充分條件或充要條件．
圓的一般方程與圓的標準方程各有千秋：
�。�1）圓的標準方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和半徑一目了然．
�。�2）圓的一般方程表現出明顯的代數的形式與結構，更適合方程理論的運用．
【實例分析】
例1：下列方程各表示什么圖形．
�。�1） ；
�。�2） ；
�。ǎ�3） ．
學生演算并回答
�。�1）表示點（0，0）；
（2）配方得 ，表示以 為圓心，3為半徑的圓；
�。�3）配方得 ，當 、 同時為0時，表示原點（0，0）；當 、 不同時為0時，表示以 為圓心， 為半徑的圓．
例2：求過三點 ， ， 的圓的方程，并求出圓心坐標和半徑．
分析：由于學習了圓的標準方程和圓的一般方程，那么本題既可以用標準方程求解，也可以用一般方程求解．
解：設圓的方程為
因為 、 、 三點在圓上，則有
解得： ， ，
所求圓的方程為
可化為
圓心為 ，半徑為5．
請同學們再用標準方程求解，比較兩種解法的區(qū)別．
《圓的方程》教案11
一、教材分析
本章將在上章學習了直線與方程的基礎上，學習在平面直角坐標系中建立圓的代數方程，運用代數方法研究直線與圓，圓與圓的位置關系，了解空間直角坐標系，在這個過程中進一步體會數形結合的思想，形成用代數方法解決幾何問題的能力。
二、教學目標
1、 知識目標：使學生掌握圓的標準方程并依據不同條件求得圓的方程。
2、 能力目標：
(1)使學生初步熟悉圓的標準方程的用途和用法。
(2)體會數形結合思想，形成代數方法處理幾何問題能力(3)培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括的思維能力。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1、重點：圓的標準方程的推導過程和圓的標準方程特點的明確。
2、難點：圓的.方程的應用。
3、解決辦法 充分利用課本提供的2個例題，通過例題的解決使學生初步熟悉圓的標準方程的用途和用法。
四、學法
在課前必須先做好充分的預習，讓學生帶著疑問聽課，以提高聽課效率。采取學生共同探究問題的學習方法。
五、教法
先讓學生帶著問題預習課文，對圓的方程有個初步的認識，在教學過程中，主要采用啟發(fā)性原則，發(fā)揮學生的思維能力、空間想象能力。在教學中，還不時補充練習題，以鞏固學生對新知識的理解，并緊緊與考試相結合。
六、教學步驟
（一）導入新課 首先讓學生回顧上一章的直線的方程是怎么樣求出的。
（二）講授新課
1、新知識學習在學生回顧確定直線的要素——兩點（或者一點和斜率）確定一條直線的基礎上，回顧確定圓的幾何要素——圓心位置與半徑大小，即圓是這樣的一個點的集合在平面直角坐標系中，圓心 可以用坐標 表示出來，半徑長 是圓上任意一點與圓心的距離，根據兩點間的距離公式，得到圓上任意一點 的坐標 滿足的關系式。經過化簡，得到圓的標準方程
2、知識鞏固
學生口答下面問題
1、求下列各圓的標準方程。
�、� 圓心坐標為（-4，-3）半徑長度為6；
�、� 圓心坐標為（2，5）半徑長度為3；2、求下列各圓的圓心坐標和半徑。
3、知識的延伸根據“曲線與方程”的意義可知，坐標滿足方程的點在曲線上，坐標不滿足方程的點不在曲線上，為了使學生體驗曲線和方程的思想，加深對圓的標準方程的理解，教科書配置了例1。
例1要求首先根據坐標與半徑大小寫出圓的標準方程，然后給一個點，判斷該點與圓的關系，這里體現了坐標法的思想，根據圓的坐標及半徑寫方程——從幾何到代數；根據坐標滿足方程來看在不在圓上——從代數到幾何。
（三）知識的運用
例2給出不在同一直線上的三點，可以畫出一個三角形，三角形有唯一的外接圓，因此可以求出他的標準方程。由于圓的標準方程含有三個參數 , ,因此必須具備三個獨立條件才能確定一個圓。引導學生找出求三個參數的方法，讓學生初步體驗用“待定系數法”求曲線方程這一數學方法的使用過程
（四）小結一、知識概括
1、 圓心為 ，半徑長度為 的圓的標準方程為
2、 判斷給出一個點，這個點與圓什么關系。
3、 怎樣建立一個坐標系，然后求出圓的標準方程。
4、思想方法
�。�1）建立平面直角坐標系，將曲線用方程來表示，然后用方程來研究曲線的性質，這是解析幾何研究平面圖形的基本思路，本節(jié)課的學習對于研究其他圓錐曲線有示范作用。
�。�2）曲線與方程之間對立與統(tǒng)一的關系正是“對立統(tǒng)一”的哲學觀點在教學中的體現。
五、布置作業(yè)（第127頁2、3、4題）
《圓的方程》教案12
課 型：新授課
教學目標：
�。�1）理解直線與圓的位置關系的幾何性質；
�。�2）利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；
�。�3）會用“數形結合”的數學思想解決問題．
教學重點、難點：
直線與圓的方程的應用．
教學過程：
一、復習引入：
問題1：如何判斷直線與圓的位置關系？
問題2：如何判斷圓與圓的位置關系？
直線與圓的方程在生產、生活實踐以及數學中有著廣泛的應用，這幾節(jié)課我們將通過一些例子學習直線與圓的方程在實際生活以及平面幾何等方面的應用
二、新課教學：
例1．（課本例4）圖4。2-5是某圓拱形橋的'示意圖。這個圓的圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱的高度（精確到0.01m）.
小結方法:用坐標法解決實際應用題的步驟：
第一步：將實際應用題轉化為數學問題，建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；
第二步：通過代數運算，解決代數問題；
第三步：將代數運算結果“翻譯”成實際結論，．
例2．（課本例5）已知內接于圓的四邊形的對角線互相垂直,求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半.
小結方法:用坐標法解決幾何問題的步驟：
第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；
第二步：通過代數運算，解決代數問題；
第三步：將代數運算結果“翻譯”成幾何結論．
課堂練習：課本練習第2，3，4題;
課后作業(yè)：課本習題4.2A組第8，11題.B組第1題
《圓的方程》教案13
教學目的：
掌握圓的標準方程，并能解決與之有關的問題
教學重點：
圓的標準方程及有關運用
教學難點：
標準方程的靈活運用
教學過程：
一、導入新課，探究標準方程
二、掌握知識，鞏固練習
練習：
�、闭f出下列圓的方程
�、艌A心（3，-2）半徑為5⑵圓心（0，3）半徑為3
�、仓赋鱿铝袌A的圓心和半徑
⑴（x-2）2+(y+3)2=3
�、苮2+y2=2
⑶x2+y2-6x+4y+12=0
�、撑袛�3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置關系
⒋圓心為（1，3），并與3x-4y-7=0相切，求這個圓的方程
三、引伸提高，講解例題
例1、圓心在y=-2x上，過p(2,-1)且與x-y=1相切求圓的方程（突出待定系數的.數學方法）
練習：
1、某圓過(-2,1)、(2,3)，圓心在x軸上，求其方程。
2、某圓過A(-10,0)、B(10,0)、C(0,4)，求圓的方程。
例2：某圓拱橋的跨度為20米，拱高為4米，在建造時每隔4米加一個支柱支撐，求A2P2的長度。
例3、點M(x0,y0)在x2+y2=r2上,求過M的圓的切線方程(一題多解,訓練思維)
四、小結練習P771，2，3，4
五、作業(yè)P811，2，3，4
《圓的方程》教案14
1教學目標
�。ㄒ唬┲R與技能：
1、理解并掌握圓的一般方程的形式，會將圓的標準方程化為一般方程；
2、明確圓的標準方程和一般方程的常數之間的關系，會用這種關系求圓的圓心坐標和半徑；
3、逐步學會用配方法將圓的一般方程表示為標準方程、
�。ǘ┻^程與方法：
1、從不同的角度得出圓的方程表示形式，培養(yǎng)學生從多角度認識事物、研究問題的習慣和能力；
2、隨著探索研究的不斷推進，逐步讓學生發(fā)現圓的一般方程的特點，培養(yǎng)學生觀察、歸納能力；
3、通過一題多解，培養(yǎng)學生發(fā)散思維；
4、在合作交流中采用問題呈現的方式，引導學生積極探索，主動學習，培養(yǎng)合作精神、
（三）情感態(tài)度與價值觀：借助于多媒體課件，讓學生感受數與式之間的內部的和諧美，提高學習數學的興趣、
2學情分析
數學屬于“難攻”的科目，學生基礎差，學習興趣不高，缺乏主動性。因此在教學設計上要多考慮學生的實際因素，由易到難，層層遞進，激發(fā)并引導學生自主學習是教師教學的主要目的之一。
3重點難點
教學重點： 圓的一般方程及一般方程的.特點、
教學難點： 圓的一般方程的特點及用待定系數法求圓的方程、
4教學過程
4、1第一學時
教學活動 活動1【導入】教學活動
一、復習與回顧：
1、圓的標準方程
2、圓心在（-1,2），與 y 軸相切的圓的方程、
3、已知圓經過P(5,1),圓心在C(8,3),求圓方程
二、探索研究，引出新課：
1、問題引入： 方程(x+3)2+(y-4)2=6為幾元幾次方程？ （展開整理）
2、將圓的標準方程展開整理：
注意：①圓的方程是二元二次方程； ②x2、y2的系數相等； ③不含xy項。
3、 用配方法將圓的一般方程化為標準方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0 ④D、E、F滿足
4、 圓的標準方程和一般方程可以相互轉化： x2+y2+Dx+Ey+F=0 常數D、E、F與a、b、r之間的關系： r2=a2+b2-F
三、應用舉例：
例1：判斷下列方程能否表示圓的方程,若能，化成標準方程，寫出圓心與半徑。
例2:求過三點A(0,5),B (1,-2),C(-3,-4)的圓的方程 （一題多解）
例3、 已知一曲線是與兩定點O(0,0)、A(3,0)距離的比為1/2的點的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線、
四，課堂練習：
�。�1）已知圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓心坐標是(-2,3),半徑為4，則D=______，E=_____F=_____；
�。�2）圓x2+y2-2ax-y+a=0表示圓，則a的取值范圍是______；
�。�3）圓x2+y2+4x+2by+ =0與X軸相切，則b=_____；
�。�4）已知點P在圓C： 上運動，求線段OP的中點M的軌跡方程。
五、課堂小結：
1、圓的一般方程: X2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0)、
2、圓的一般方程與圓的標準方程的關系: 圓的標準方程的優(yōu)點在于它明確指出了圓的圓心及半徑,而一般方程突出了方程形式上的特點、
3、圓的標準方程與二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的關系: (1)A=C≠0,(2)B=0,(3) D2+E2-4AF>0時,二元二次方程才表示圓的一般方程、
4、圓的一般方程的特點: (1)x2和y2的系數相同且不等于0、 (2)沒有xy這樣的二次項,因此只要求出了D,E,F就求出了圓的一般方程、
六， 布置作業(yè)：
基礎題：P99：A組1，2 B組1，2
《圓的方程》教案15
課名
《圓的標準方程》
教師
賈偉
學科（版本）
北師大版的數學必修2
章節(jié)
第二章第2節(jié)
學時
1學時
年級
高一年級
教材分析
圓是學生在初中已初步了解了圓的知識及前面學習了直線方程的基礎上來進一步學習《圓的標準方程》，它既是前面圓的知識的復習延伸，又是后繼學習圓與直線的位置關系奠定了基礎。因此，本節(jié)課在本章中起著承上啟下的重要作用。
教學目標
1、知識與技能：探索并掌握圓的標準方程，能根據方程寫出圓的坐標和圓的半徑。
2、過程與方法：通過圓的標準方程的學習，掌握求曲線方程的方法，領會數形結合的思想。
3、情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學生學習數學的興趣，感受學習成功的喜悅。
教學重點難點
以及措施
教學重點：圓的標準方程理解及運用
教學難點：根據不同條件，利用待定系數求圓的標準方程。
根據教學內容的特點及高一年級學生的年齡、認知特征，緊緊抓住課堂知識的結構關系，遵循“直觀認知――操作體會――感悟知識特征――應用知識”的認知過程，設計出包括：觀察、操作、思考、交流等內容的教學流程。并且充分利用現代化信息技術的教學手段提高教學效率。以此使學生獲取知識，給學生獨立操作、合作交流的機會。學法上注重讓學生參與方程的推導過程，努力拓展學生思維的空間，促其在嘗試中發(fā)現，討論中明理，合作中成功，讓學生真正體驗知識的形成過程。
學習者分析
高一年級的學生從知識層面上已經掌握了圓的相關性質；從能力層面具備了一定的觀察、分析和數據處理能力，對數學問題有自己個人的看法；從情感層面上學生思維活躍積極性高，但他們數學應用意識和語言表達的能力還有待加強。
教法設計
問題情境引入法啟發(fā)式教學法講授法
學法指導
自主學習法討論交流法練習鞏固法
教學準備：
ppt課件導學案
一、教學環(huán)節(jié)
二、教學內容
三、教師活動
四、學生活動
五、設計意圖
六、情景引入
七、回顧復習（2分鐘）
1、觀賞生活中有關圓的圖片
2、回顧復習圓的定義，并觀看圓的生成flash動畫。
八、提問：
直線可以用一個方程表示，那么圓可以用一個方程表示嗎？
教師創(chuàng)設情景，引領學生感受圓。
教師提出問題。引導學生思考，引出本節(jié)主旨。
學生觀賞圓的圖片和動畫，思考如何表示圓的方程。
生活中的圖片展示，調動學生學習的積極性，讓學生體會到園在日常生活中的廣泛應用
九、自主學習（5分鐘）
1、介紹動點軌跡方程的求解步驟：
�。�1）建系：在圖形中建立適當的坐標系；
�。�2）設點：用有序實數對（x，y）表示曲線上任意一點M的坐標；
�。�3）列式：用坐標表示條件P（M）的方程；
�。�4）化簡：對P（M）方程化簡到最簡形式；
2、學生自主學習圓的方程推導，并完成相應學案內容，
教師介紹求軌跡方程的步驟后，引導學生自學圓的標準方程
自主學習課本中圓的標準方程的推導過程，并完成導學案的內容，并當堂展示。
培養(yǎng)學生自主學習，獲取知識的能力
十、合作探究（10分鐘）
1、根據圓的標準方程說明確定圓的方程的條件有哪些？
2、點M（x0，y0）與圓（x、a）2+（y、b）2=r2的關系的判斷方法：
�。�1）點在圓上
�。�2）點在圓外
（3）點在圓內
教師引導學生分組探討，從旁巡視指導學生在自學和探討中遇到的'問題，并鼓勵學生以小組為單位展示探究成果。
學生展開合作性的探討，并陳述自己的研究成果。
通過合作探究和自我的展示，鼓勵學生合作學習的品質
十一、當堂訓練（18分鐘）
1、求下列圓的圓心坐標和半徑
C1：x2+y2=5
C2：（x、3）2+y2=4
C3：x2+（y+1）2=a2（a≠0）
2、以C（4，、6）為圓心，半徑等于3的圓的標準方程
3、設圓（x、a）2+（y、b）2=r2則坐標原點的位置是（）
A、在圓外B、在圓上
C、在圓內D、與a的取值有關
4、寫出下列各圓的標準方程
�。�1）圓心在原點，半徑等于5
（2）經過點P（5，1），圓心在點C（6，、2）；
�。�3）以A（2，5），B（0，、1）為直徑的圓、
5、下列方程分別表示什么圖形
�。�1）x2+y2=0
�。�2）（x、1）2 =8、（y+2）2
�。�3）圓的標準方程
6、鞏固提升：已知圓心為C的圓經過點A（1，1）和B（2，2），且圓心在直線l：x、y+1=0上，求圓C的標準方程并作圖
指導學生就不同條件下給出的圓心和半徑關系，求解圓的標準方程這兩個要素展開訓練。
學生自主開展訓練，并糾正學習中所遇到的問題
鞏固所學知識，并查缺補漏。
十二、回顧小結
�。�1分鐘）
1、你學到了哪些知識？
2、你掌握了哪些技能？
3、你體會到了哪些數學思想？
采用提問的形式幫助學生回顧和分析本節(jié)所學。
學生思考并從知識、技能和思想方法上回顧總結。
培養(yǎng)學生歸納總結能力
十三、作業(yè)布置（1分鐘）
課本87頁習題2、2
A組的第1道題
布置訓練任務
標記并完成相應的任務
檢測學生掌握知識情況。
十四、教學反思
本節(jié)教學主要遵循“回、導、學、展、講、練、結”的高效課堂教學模式，遵循學生學習的主體地位，鼓勵學生自主思考和探討。
教學中要積極鼓勵學生多思考總結，在判斷點與圓的位置關系中，要遵從學生個性化的發(fā)展思路，鼓勵學生創(chuàng)造性的解決問題。
《圓的方程》教案16
1、教學目標
(1)知識目標：
1、在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程;
2、會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心，能根據條件寫出圓的方程;
3、利用圓的方程解決與圓有關的實際問題。
(2)能力目標：
1、進一步培養(yǎng)學生用解析法研究幾何問題的能力;
2、使學生加深對數形結合思想和待定系數法的理解;
3、增強學生用數學的意識。
(3)情感目標：培養(yǎng)學生主動探究知識、合作交流的意識，在體驗數學美的過程中激發(fā)學生的學習興趣。
2、教學重點、難點
(1)教學重點：圓的標準方程的求法及其應用。
(2)教學難點：①會根據不同的已知條件，利用待定系數法求圓的標準方程
②選擇恰當的坐標系解決與圓有關的實際問題。
3、教學過程
(一)創(chuàng)設情境(啟迪思維)
問題一：已知隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為2。7m，高為3m的貨車能不能駛入這個隧道?
[引導]：畫圖建系
[學生活動]：嘗試寫出曲線的方程(對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性復習)
解：以某一截面半圓的圓心為坐標原點，半圓的直徑AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，則半圓的方程為x2+y2=16(y≥0)
將x=2。7代入，得
即在離隧道中心線2。7m處，隧道的高度低于貨車的高度，因此貨車不能駛入這個隧道。
(二)深入探究(獲得新知)
問題二：
1、根據問題一的探究能不能得到圓心在原點，半徑為的圓的方程?
答：x2+y2=r2
2、如果圓心在，半徑為時又如何呢?
[學生活動]：探究圓的方程。
[教師預設]：方法一：坐標法
如圖，設M(x，y)是圓上任意一點，根據定義點M到圓心C的距離等于r，所以圓C就是集合P={M||MC|=r}
由兩點間的距離公式，點M適合的條件可表示為①
把①式兩邊平方，得(x―a)2+(y―b)2=r2
方法二：圖形變換法
方法三：向量平移法
(三)應用舉例(鞏固提高)
I.直接應用(內化新知)
問題三：
1、寫出下列各圓的方程(課本P77練習1)
(1)圓心在原點，半徑為3;
(2)圓心在，半徑為
(3)經過點，圓心在點
2、根據圓的方程寫出圓心和半徑
II.靈活應用(提升能力)
問題四：
1、求以為圓心，并且和直線相切的圓的方程。
[教師引導]由問題三知：圓心與半徑可以確定圓。
2、求過點，圓心在直線上且與軸相切的圓的方程。
[教師引導]應用待定系數法尋找圓心和半徑。
3、已知圓的方程為，求過圓上一點的切線方程。
[學生活動]探究方法
[教師預設]方法一：待定系數法(利用幾何關系求斜率—垂直)
方法二：待定系數法(利用代數關系求斜率—聯立方程)
方法三：軌跡法(利用勾股定理列關系式)[多媒體課件演示]
方法四：軌跡法(利用向量垂直列關系式)
4、你能歸納出具有一般性的結論嗎?
已知圓的方程是，經過圓上一點的切線的方程是：
III.實際應用(回歸自然)
問題五：如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱的長度(精確到0。01m)。
[多媒體課件演示創(chuàng)設實際問題情境]
(四)反饋訓練(形成方法)
問題六：
1、求以C(-1，-5)為圓心，并且和y軸相切的圓的方程。
2、已知點A(-4，-5)，B(6，-1)，求以AB為直徑的圓的方程。
3、求過點，且圓心在直線上的圓的標準方程。
4、求圓x2+y2=13過點P(—2，3)的切線方程。
5、已知圓的方程為，求過點的切線方程。
(五)小結反思(拓展引申)
1、課堂小結：
(1)知識性小結：
�、賵A心為C(a，b)，半徑為r的圓的標準方程為：
當圓心在原點時，圓的標準方程為：
②已知圓的方程是，經過圓上一點的切線的方程是：
(2)方法性小結：
①求圓的方程的方法：I。找出圓心和半徑;II。待定系數法
�、谇蠼鈶脝栴}的一般方法
2、分層作業(yè)：(A)鞏固型作業(yè)：課本P81—82：(習題7。6)1、2、4
(B)思維拓展型作業(yè)：
試推導過圓上一點的切線方程。
3、激發(fā)新疑：
問題七：
1、把圓的標準方程展開后是什么形式?
2、方程：的曲線是什么圖形?
設計說明
圓是學生比較熟悉的曲線。初中平面幾何對圓的基本性質作了比較系統(tǒng)的.研究，因此這節(jié)課的重點就放在了用解析法研究它的方程和圓的標準方程的一些應用上。首先，在已有圓的定義和求曲線方程的一般步驟的基礎上，用實際問題引導學生探究獲得圓的標準方程，然后，利用圓的標準方程由潛入深的解決問題，并通過最終在實際問題中的應用，增強學生用數學的意識。另外，為了培養(yǎng)學生的理性思維，我分別在引例和問題四中，設計了兩次由特殊到一般的學習思路，培養(yǎng)學生的歸納概括能力。在問題的設計中，我用一題多解的探究，縱向挖掘知識深度，橫向加強知識間的聯系，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神，并且使學生的有效思維量加大，隨時對所學知識和方法產生有意注意，能力與知識的形成相伴而行，這樣的設計不但突出了重點，更使難點的突破水到渠成。
本節(jié)課的設計了五個環(huán)節(jié)，以問題為紐帶，以探究活動為載體，使學生在問題的指引下、我的指導下把探究活動層層展開、步步深入，充分體現以教師為主導，以學生為主體的指導思想，應用啟發(fā)式的教學方法把學生學習知識的過程轉變?yōu)閷W生觀察問題、發(fā)現問題、分析問題、解決問題的過程，在解決問題的同時提鍛煉了思維、提高了能力、培養(yǎng)了興趣、增強了信心。
高中數學有效的學習方法
一、課后及時回憶
如果等到把課堂內容遺忘得差不多時才復習，就幾乎等于重新學習，所以課堂學習的新知識必須及時復習。
可以一個人單獨回憶，也可以幾個人在一起互相啟發(fā)，補充回憶。一般按照教師板書的提綱和要領進行，也可以按教材綱目結構進行，從課題到重點內容，再到例題的每部分的細節(jié)，循序漸進地進行復習。在復習過程中要不失時機整理筆記，因為整理筆記也是一種有效的復習方法。
二、定期重復鞏固
即使是復習過的內容仍須定期鞏固，但是復習的次數應隨時間的增長而逐步減小，間隔也可以逐漸拉長�？梢援斕祆柟绦轮R，每周進行周小結，每月進行階段性總結，期中、期末進行全面系統(tǒng)的學期復習。從內容上看，每課知識即時回顧，每單元進行知識梳理，每章節(jié)進行知識歸納總結，必須把相關知識串聯在一起，形成知識網絡，達到對知識和方法的整體把握。
三、科學合理安排
復習一般可以分為集中復習和分散復習。實驗證明，分散復習的效果優(yōu)于集中復習，特殊情況除外。分散復習，可以把需要識記的材料適當分類，并且與其他的學習或娛樂或休息交替進行，不至于單調使用某種思維方式，形成疲勞。分散復習也應結合各自認知水平，以及識記素材的特點，把握重復次數與間隔時間，并非間隔時間越長越好，而要適合自己的復習規(guī)律。
高中數學考試的技巧
總體原則
1、先做簡單題，后做難題。
2、遇到較難的大題，把所有跟該題有關的知識點都寫出來，要知道數學講究步驟分。
3、若是證明題，萬一不會，可以先寫出已知條件，再寫出要證明的最后一步，再一步一步往上推，中間步驟隨便寫點。(使用于粗心的教師，但我們不提倡，重點是要平時學好)。
一、整體把握、抓大放小
拿到試卷后可以先快速瀏覽一下所有題目，根據積累的考試經驗，大致估計一下每部分應該分配的時間。對于能夠很快做出來的題目，一定要拿到應得的分數。
二、確定每部分的答題時間
1、考試時占用了很多時間卻一點也沒有做出來的題目。對于這類題目，你以后考試時就應該盡量減少時間，或者放棄，等以后學習進階了再嘗試著做。
2、考試時花了過多的時間才做出來的題目。對于這類題目，你以后平時做題時要盡量加快速度，或者通過“反復訓練”等提高反應速度，這樣，你下次考試時能用較少的時間做出來。
三、碰到難題時
1、你可以先用“直覺”最快的找到解題思路;
2、如果“直覺”不管用，你可以聯想以前做過的類似的題目，從而找到解題思路;
3、如果這樣也不行，你可以猜測一下這道題目可能涉及到的知識點和解題技巧。
4、對于花了一定時間仍然不能做出來的題目，要勇于放棄。
四、卷面整潔、字跡清楚、注意小節(jié)
做到卷面整潔、字跡清楚，把標點、符號、解題步驟等小的地方盡量做好，不要丟掉應得的每一分。
《圓的方程》教案17
1、教學目標
�。�1）知識目標：
a、在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程；
b、會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心，能根據條件寫出圓的方程；
c、利用圓的方程解決與圓有關的實際問題。
�。�2）能力目標：
a、進一步培養(yǎng)學生用解析法研究幾何問題的能力；
b、使學生加深對數形結合思想和待定系數法的理解；
c、增強學生用數學的意識。
�。�3）情感目標：培養(yǎng)學生主動探究知識、合作交流的意識，在體驗數學美的過程中激發(fā)學生的學習興趣。
2、教學重點、難點
�。�1）教學重點： 圓的標準方程的求法及其應用。
�。�2）教學難點：
�、贂鶕煌囊阎獥l件，利用待定系數法求圓的標準方程
�、谶x擇恰當的坐標系解決與圓有關的實際問題。
3、教學過程
�。ㄒ唬﹦�(chuàng)設情境（啟迪思維）
問題一：已知隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為2.7m，高為3m的貨車能不能駛入這個隧道？
[引導]：畫圖建系
[學生活動]：嘗試寫出曲線的方程（對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性復習）
解：以某一截面半圓的圓心為坐標原點，半圓的直徑AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，則半圓的方程為x2+y2=16（y≥0）
將x=2.7代入，得
即在離隧道中心線2。7m處，隧道的高度低于貨車的高度，因此貨車不能駛入這個隧道。
�。ǘ┥钊胩骄浚ǐ@得新知）
問題二：
1、根據問題一的探究能不能得到圓心在原點，半徑為的圓的方程？
答：x2+y2=r2
2、如果圓心在，半徑為時又如何呢？
[學生活動]：探究圓的方程。
[教師預設]：方法一：坐標法
如圖，設M（x，y）是圓上任意一點，根據定義點M到圓心C的距離等于r，所以圓C就是集合P={M||MC|=r}
由兩點間的距離公式，點M適合的條件可表示為①
把①式兩邊平方，得（x―a）2+（y―b）2=r2
方法二：圖形變換法
方法三：向量平移法
（三）應用舉例（鞏固提高）
I直接應用（內化新知）
問題三：
1、寫出下列各圓的方程（課本P77練習1）
�。�1）圓心在原點，半徑為3；
�。�2）圓心在，半徑為
（3）經過點，圓心在點
2、根據圓的方程寫出圓心和半徑
II靈活應用（提升能力）
問題四：
1、求以為圓心，并且和直線相切的圓的方程。
[教師引導] 由問題三知：圓心與半徑可以確定圓。
2、求過點，圓心在直線上且與軸相切的圓的方程。
[教師引導] 應用待定系數法尋找圓心和半徑。
3、已知圓的方程為，求過圓上一點的切線方程。
[學生活動] 探究方法
[教師預設]
多媒體課件演示：
方法一：待定系數法（利用幾何關系求斜率—垂直）
方法二：待定系數法（利用代數關系求斜率—聯立方程）
方法三：軌跡法（利用勾股定理列關系式）
方法四：軌跡法（利用向量垂直列關系式）
4、你能歸納出具有一般性的結論嗎？
已知圓的方程是，經過圓上一點的切線的方程是：
III實際應用（回歸自然）
問題五：如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱的長度（精確到0。01m）。
[多媒體課件演示創(chuàng)設實際問題情境]
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問題六：1、求以C（—1，—5）為圓心，并且和y軸相切的圓的方程。
2、已知點A（—4，—5），B（6，—1），求以AB為直徑的圓的方程。
3、求過點且圓心在直線上的圓的標準方程。
4、求圓x2+y2=13過點P（—2，3）的切線方程。
5、已知圓的方程為，求過點的切線方程。
�。ㄎ澹┬〗Y反思（拓展引申）
1、課堂小結：
（1）知識性小結：
�、賵A心為C（a，b），半徑為r 的圓的標準方程為：
當圓心在原點時，圓的標準方程為：
�、谝阎獔A的方程是，經過圓上一點的切線的方程是：
�。�2）方法性小結：
�、偾髨A的方程的方法：
I找出圓心和半徑；
II待定系數法
�、谇蠼鈶脝栴}的一般方法
2、分層作業(yè)：
�。ˋ）鞏固型作業(yè)：課本P81—82：（習題7.6）1、2、4
�。˙）思維拓展型作業(yè)：
試推導過圓上一點的切線方程。
3、激發(fā)新疑：
問題七：
1、把圓的標準方程展開后是什么形式？
2、方程：的曲線是什么圖形？
設計說明
圓是學生比較熟悉的曲線。初中平面幾何對圓的基本性質作了比較系統(tǒng)的研究，因此這節(jié)課的重點就放在了用解析法研究它的方程和圓的標準方程的一些應用上。首先，在已有圓的定義和求曲線方程的一般步驟的基礎上，用實際問題引導學生探究獲得圓的標準方程，然后，利用圓的.標準方程由潛入深的解決問題，并通過最終在實際問題中的應用，增強學生用數學的意識。另外，為了培養(yǎng)學生的理性思維，我分別在引例和問題四中，設計了兩次由特殊到一般的學習思路，培養(yǎng)學生的歸納概括能力。在問題的設計中，我用一題多解的探究，縱向挖掘知識深度，橫向加強知識間的聯系，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神，并且使學生的有效思維量加大，隨時對所學知識和方法產生有意注意，能力與知識的形成相伴而行，這樣的設計不但突出了重點，更使難點的突破水到渠成。
本節(jié)課的設計了五個環(huán)節(jié)，以問題為紐帶，以探究活動為載體，使學生在問題的指引下、我的指導下把探究活動層層展開、步步深入，充分體現以教師為主導，以學生為主體的指導思想，應用啟發(fā)式的教學方法把學生學習知識的過程轉變?yōu)閷W生觀察問題、發(fā)現問題、分析問題、解決問題的過程，在解決問題的同時提鍛煉了思維、提高了能力、培養(yǎng)了興趣、增強了信心。
《圓的方程》教案18
教學 目標：
�。�1）掌握圓的一般方程及其特點．
（2）能將圓的一般方程轉化為圓的標準方程，從而求出圓心和半徑．
�。�3）能用待定系數法，由已知條件求出圓的一般方程．
�。�4）通過本節(jié)課學習，進一步掌握配方法和待定系數法．
教學 重點：
�。�1）用配方法，把圓的一般方程轉化成標準方程，求出圓心和半徑．
�。�2）用待定系數法求圓的方程．
教學 難點：
圓的一般方程特點的研究．
教學 用具：
計算機．
教學 方法：
啟發(fā)引導法，討論法．
教學 過程 ：
【引入】
前邊已經學過了圓的標準方程
把它展開得
任何圓的方程都可以通過展開化成形如
�、�
的方程
【問題1】
形如①的方程的曲線是否都是圓？
師生共同討論分析：
如果①表示圓，那么它一定是某個圓的標準方程展開整理得到的．我們把它再寫成原來的形式不就可以看出來了嗎？運用配方法，得
�、�
顯然②是不是圓方程與 是什么樣的數密切相關，具體如下：
（1）當 時，②表示以 為圓心、以 為半徑的圓；
（2）當 時，②表示一個點 ；
�。�3）當 時，②不表示任何曲線．
總結：任意形如①的方程可能表示一個圓，也可能表示一個點，還有可能什么也不表示．
圓的一般方程的定義：
當 時，①表示以 為圓心、以 為半徑的圓，
此時①稱作圓的一般方程．
即稱形如 的方程為圓的一般方程．
【問題2】圓的一般方程的特點，與圓的標準方程的異同．
�。�1） 和 的系數相同，都不為0．
（2）沒有形如 的二次項．
圓的一般方程與一般的二元二次方程
�、�
相比較，上述（1）、（2）兩個條件僅是③表示圓的必要條件，而不是充分條件或充要條件．
圓的一般方程與圓的標準方程各有千秋：
�。�1）圓的標準方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和半徑一目了然．
（2）圓的一般方程表現出明顯的代數的形式與結構，更適合方程理論的運用．
【實例分析】
例1：下列方程各表示什么圖形．
（1） ；
（2） ；
�。�3） ．
學生演算并回答
（1）表示點（0，0）；
�。�2）配方得 ，表示以 為圓心，3為半徑的圓；
�。�3）配方得 ，當 、 同時為0時，表示原點（0，0）；當 、 不同時為0時，表示以 為圓心， 為半徑的圓．
例2：求過三點 ， ， 的圓的方程，并求出圓心坐標和半徑．
分析：由于學習了圓的標準方程和圓的一般方程，那么本題既可以用標準方程求解，也可以用一般方程求解．
解：設圓的方程為
因為 、 、 三點在圓上，則有
解得： ， ，
所求圓的方程為
可化為
圓心為 ，半徑為5．
請同學們再用標準方程求解，比較兩種解法的區(qū)別．
【概括總結】通過學生討論，師生共同總結：
�。�1）求圓的方程多用待定系數法．其步驟為：由題意設方程（標準方程或一般方程）；根據條件列出關于待定系數的方程組；解方程組求出系數，寫出方程．
�。�2）如何選用圓的標準方程和圓的一般方程．一般地，易求圓心和半徑時，選用標準方程；如果給出圓上已知點，可選用一般方程．
下面再看一個問題：
例3： 經過點 作圓 的割線，交圓 于 、 兩點，求線段 的'中點 的軌跡．
解：圓 的方程可化為 ，其圓心為 ，半徑為2．設 是軌跡上任意一點．
∵
∴
即
化簡得
點 在曲線上，并且曲線為圓 內部的一段圓�。�
【練習鞏固】
（1）方程 表示的曲線是以 為圓心，4為半徑的圓．求 、 、 的值．（結果為4，－6，－3）
�。�2）求經過三點 、 、 的圓的方程．
分析：用圓的一般方程，代入點的坐標，解方程組得圓的方程為 ．
�。�3）課本第79頁練習1，2．
【小結】師生共同總結：
�。�1）圓的一般方程及其特點．
�。�2）用配方法化圓的一般方程為圓的標準方程，求圓心坐標和半徑．
�。�3）用待定系數法求圓的方程．
【作業(yè)】課本第82頁5，6，7，8．
【 板書 設計】
圓的一般方程
圓的一般方程
例1：
例2：
例3：
練習：
小結：
作業(yè)：
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